Parallel In Time Algorithms for Data Assimilation
Algorithmes parallèles en temps pour l'assimilation de données
Résumé
Four dimensional variational data assimilation (4DVAR) which is based on optimisation algorithms is used by the leading meteorological institutions as a means of initialising the numerical climate models. The optimal initial condition is found by minimisng a cost function which accounts for the misfits of the model trajectory with the observations of the system over a given time window. In its incremental formulation, the integration of the forward and adjoint version of the original model is required in order to compute the gradient. A common issue in the retrieval of the initial condition is the enormous size of the state variable(10^9) which makes the minimisation an expensive and time consuming task. Moreover 4DVAR is an inherently sequential algorithm and to use it in parallel architectures, the models are classically parallelised only in the spatial dimension. This limits the scope of further speed up once spatial saturation is reached and also the maximum number of computing cores that one can use. The objective of this PhD is tointroduce an additional time-paralllelisation in the data assimilation framework by using the well known parareal method. Our approach is used here for running the forward integration. We use a modified version of the inexact conjugate gradient method where the matrix-vector multiplications are supplied through the parareal and thus are not exact. The associated convergence conditions of the inexact conjugate gradient allows us to use parareal adaptively by monitoring the errors in the matrix-vector product and obtaining the same levels of accuracy as with the usual conjugate gradient method at the same time. To ensure the feasibility and a practical implementation, all the norms which are hard to compute are replaced by the easily computable approximations. The results are demonstrated by considering the one and two dimensional shallow water model. They are presented in terms of the accuracy (in comparison with the original exact conjugate gradient) and in terms of the number of required iterations of the parareal algorithm. For the more complex two dimensional model we use a Krylov enhanced subspace parareal version which accelerates the convergence of the parareal and brings down the number of iterations. In the end, the ways to time-parallelisethe adjoint version is discussed as a further avenue for research.
L'assimilation variationnelle de données (4DVAR), basée sur des algorithmes d'optimisation, est utilisée par les principales institutions météorologiques pour initialiser les modèles climatiques numériques. La condition initiale optimale est trouvée en minimisant une fonction de coût qui prend en compte les écarts entre la trajectoire du modèle et les observations du système sur une période donnée. Dans sa formulation incrémentale, l'intégration de la version directe et adjointe du modèle original est nécessaire pour calculer le gradient. Un problème courant dans l'identification de la condition initiale est la très grande taille de la variable d'état (10^9), ce qui rend très couteuse la tâche de minimisation. De plus, la technique 4DVAR est un algorithme intrinsèquement séquentiel et, pour l'utiliser dans des architectures parallèles, les modèles sont généralement parallélisés uniquement dans la dimension spatiale. ceci limite l'accélération (scalabilité) possible une fois que la saturation spatiale est atteinte et ainsi le nombre maximal de cœurs de calcul pouvant être utilisés est également restreint. L'objectif de cette thèse est d'introduire une parallélisation supplémentaire de la dimension temporell dans le cadre de l'assimilation de données en utilisant la méthode Parareal. Notre approche est utilisée ici pour l'intégration directe. Nous utilisons une version modifiée de la méthode du gradient conjugué inexact où les multiplications matrice-vecteur sont effectuées par l'algorithme parareal et ne sont donc pas exactes. Les conditions de convergence associées du gradient conjugué inexact nous permettent d'utiliser l'algorihtme Parareal de manière adaptative en régulant les erreurs dans le produit matrice-vecteur et en obtenant les mêmes niveaux de précision qu'avec la méthode du gradient conjugué avec gradient exact. Pour garantir la faisabilité et une mise en œuvre pratique, les normes intervenant dans la méthode du gradient conjugué inexact sont remplacées par des approximations facilement calculables. Les résultats sont démontrés en considérant un modèle en eau peu profonde en dimension 1 et 2. Ils sont présentés en termes de précision (en comparaison avec la méthode exacte du gradient conjugué) et du nombre d'itérations requises par l'algorithme Parareal. Pour le modèle en dimension 2, plus complexe, nous utilisons la technique de sous-espaces de Krylov afin d'accélèrer la convergence du parareal et réduire le nombre d'itérations. Enfin, les moyens de paralléliser temporellement la version adjointe sont discutés comme une voie de recherche supplémentaire.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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