Kaluza-Klein Compactification, Exceptional Geometry and Holography
Compactification Kaluza-Klein, Géométrie Exceptionnelle et Holographie
Résumé
String Theories are our most promising candidates in the goal of unifying all interactions in nature. Gravity is naturally encapsulated in all String Theories, which are ultraviolet-free from divergences. A general feature of String Theories is the number of spacetime dimensions required. This number is either 26 or 10. In any case, this requires some further modifications of the theories since the world we are living in is a priori a 4-dimensional spacetime space. One way to tackle this problem is via so-called Kaluza-Klein compactifications. The latter is a process in which some of the dimensions of the total space are made compact and small. The idea is that at our macroscopic scale and daily energy level, the effects of those "extra" dimensions are sufficiently small so we can ignore them. In this thesis we will be interested in Supergravities, obtained from a certain regime of String Theories. In those theories, additional symmetries show up in dimensional compactifications, which allow us to reformulate Supergravities into so-called Exceptional Field Theories. Let us finally remark that Supergravities are particularly important in the context of the AdS/CFT correspondence, stating the equivalence between a theory of gravity, here a Supergravity defined on an Anti-de-Sitter (AdS) background, and a Quantum Field Theory, here a Conformal Field Theory living on the boundary of the AdS previous spacetime. In the first part of the thesis, we will make general comments and use it to introduce various concepts needed throughout the thesis. In the second part of the thesis, we will show how to use Exceptional Field Theory tech- niques to compute spectra of solutions of 11-dimensional Supergravity on AdS₄ × Σ⁷ . After reviewing the state-of-the-art techniques for Kaluza-Klein spectroscopy, we will show how Exceptional Field Theory techniques can be extended to spaces with the condition of Generalized parallelizability. We will illustrate how this technology works in the case of AdS₄ × S⁷squashed solution of 11- dimensional Supergravity, for which we give a complete answer for the spectrum. We will then show a concrete realization of the AdS₄/CFT₃ correspondence, by computing the domain-wall solution of the Supergravity equations interpolating between the round and the squashed seven- sphere, which is dual to a Renormalization Group flow on the Conformal Field Theory side. This demonstrates that not only Exceptional Field Theory techniques can be used to compute spectra around Supergravities with AdS background, but it also allows us to compute quadratic couplings of Kaluza-Klein fluctuations around a domain-wall solution of Supergravity. Finally, in the last section of the thesis, we will be interested in n-point couplings in Super- gravities. In a first part, we will show how to compute cubic couplings for specific fields on AdS₅ background of IIB 10-dimensional Supergravity via a brute force calculation. After discussing the achievements made using these techniques, we will show how we can use Exceptional Field Theory techniques to efficiently compute these couplings. Not only will this prove more efficient, but it will also allow us to write the same couplings in a more compact form, to derive formulas that apply to any vacua that are Leibniz parallelizable, and also to reveal Exceptional Field Theory structures that prove long-standing conjectures. We will illustrate the power of these techniques on the example of AdS₅ background of IIB 10-dimensional Supergravity.
Théories des Cordes sont nos meilleurs candidats dans la perspective d’unification de toutes les interactions de la Nature. La gravité est naturellement encodée dans toutes les Théories des Cordes, qui sont exemptes de divergences dans l’ultraviolet. C’est cette dernière caractéristique qui font des Théories des Cordes de potentiels candidats pour une théorie de gravitation quantique. Une caractéristique générale des Théories des Cordes est le nombre de dimensions de l’espace- temps requis. Ce nombre est soit 26, soit 10. L’une des façons d’aborder ce problème est de recourir à ce que l’on appelle les compactifications de Kaluza-Klein. Il s’agit d’un processus par lequel certaines dimensions de l’espace total sont rendues compactes et petites. L’objectif de ce procédé est qu’à notre échelle macroscopique et aux niveaux d’énergie accessibles au quotidien, les effets de ces dimensions "supplémentaires" soient suffisamment faibles pour que nous puissions les ignorer. Les Théories des Cordes étant des théories très complexes, une façon d’étudier les procédures de compactification consiste à se restreindre à l’analyse des Supergravités, vues comme une limite à basse énergie des Théories des Cordes. Dans ces théories, des symétries supplémentaires apparaissent lors des compactifications, ce qui nous permet de reformuler les Supergravités en des "Théories des Champs Exceptionnelles", rendant ces dualités manifestes. Les Supergravités sont d’autant plus intéressantes qu’elles jouent un rôle clef dans le contexte de la correspondance AdS/CFT, qui est un autre type de dualité établissant l’équivalence entre une théorie de la gravité, ici une Supergravité définie sur un espace d’Anti-de-Sitter (AdS), et une Théorie Quantique des Champs, ici une Théorie Conforme des Champs vivant à la frontière de l’espace-temps AdS. Dans la première partie de la thèse, nous ferons des commentaires généraux et les utiliserons pour introduire divers concepts nécessaires tout au long du manuscrit. Dans la deuxième partie de la thèse, nous montrerons comment utiliser les techniques de la Théorie des Champs Exceptionnelle pour calculer les spectres des solutions de la Supergravité à 11 dimensions sur AdS₄ × Σ⁷, avec Σ⁷ un espace interne compact à 7 dimensions. Nous introduiront les techniques de la Théorie des Champs Exceptionnelle pour les espaces dit parallélisables de Leibniz. Nous montrerons par la suite comment ces dernières techniques peuvent être étendues aux espaces avec la condition moins contraignante dite de parallélisabilité Généralisée. Nous illustrerons cette nouvelle approche dans le cas de la solution AdS₄ × S⁷ squashed de la Supergravité à 11 dimension, pour laquelle nous donnons le spectre de masse dans sa totalité. Nous montrerons ensuite une réalisation concrète de la correspondance AdS₄/CFT₃ Enfin, dans la dernière partie de la thèse, nous nous intéresserons aux couplages à n-points dans les Supergravités. Dans une première partie, nous montrerons comment calculer les cou- plages cubiques pour des champs spécifiques sur un espace AdS₅ × S⁵ de la Supergravité IIB à 10 dimensions via un calcul direct. Après avoir discuté des résultats obtenus grâce à ces techniques, nous montrerons comment nous pouvons utiliser les techniques de la Théorie des Champs Exceptionnelle pour calculer efficacement ces couplages. Ces calculs nous permettrons aussi de révéler des structures de la Théorie des Champs Exceptionnels dans les couplages à n-points en Supergravité.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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