Homological methods for Gauge Theories with singularities - Thèses Université Claude Bernard Lyon 1
Thèse Année : 2023

Homological methods for Gauge Theories with singularities

Méthodes homologiques pour les théories de jauge avec singularités

Résumé

This thesis is devoted to studying and enhancing the tools of homological algebra used in quantization methods of gauge theories, in particular the Hamiltonial-BRST or BFV formalism. In the first part we review the standard results in homological algebra on free resolutions of commutative rings. We go into more details when the commutative ring O is a polynomial ring and I is a proper monomial ideal. In this setting we describe the simplicial resolutions of O/I. In the second part, given a commutative algebra O and a proper ideal I we introduce, out of any resolution of O/I by projective O-modules, an explicit Koszul-Tate resolution. We call it the arborescent Koszul-Tate resolution since it is indexed by decorated trees. For Syzygy rings, we show that finitely many operations are needed to construct the arborescent resolution Koszul-Tate resolution, while the original Tate algorithm requires infinitely many if I is not a complete intersection. We are able to equip the initial projective O-resolution with an explicit A-∞ algebra. For O being a polynomial ring and I a monomial ideal, we use part of the arborescent Koszul-Tate structure to give an elementary proof of a theorem by Avramov: for the ideal I not generated by a regular sequence, any Koszul-Tate resolution has infinitely many generators. For O being a local Noetherian ring or a graded polynomial ring we give a definition of a minimal Koszul-Tate resolution and we study its properties. In the third part we study BFV formalism for mechanical systems. We investigate the connection between the universal Lie-∞ algebroid data and the BFV counterpart on some examples.
Cette thèse est consacrée à l’étude et à l’amélioration des outils de l’algèbre homologique utilisés dans les méthodes de quantification des théories de jauge, en particulier le formalisme Hamiltonien-BRST ou BFV. Dans la première partie, nous passons en revue les résultats classiques de l’algèbre homologique sur les résolutions libres des anneaux commutatifs. Nous approfondissons ces résultats lorsque l’anneau commutatif O est un anneau de polynômes et I est un idéal monomial propre. Dans ce cadre, nous décrivons les résolutions simpliciales de O/I. Dans la deuxième partie, étant donné une algèbre commutative O et un idéal propre I, nous introduisons, à partir de toute résolution de O/I par des O-modules projectifs, une résolution explicite de Koszul-Tate. Nous l’appelons résolution de Koszul-Tate arborescente car elle est indexée par des arbres décorés. Pour les anneaux à Syzygies, nous montrons qu’un nombre fini d’opérations suffit pour construire la résolution arborescente de Koszul-Tate, tandis que l’algorithme de Tate original en nécessite un nombre infini si I n’est pas une intersection complète. Nous sommes capables de munir la résolution projective initiale de O d’une A-∞ algèbre explicite. Pour O étant un anneau de polynômes et I un idéal monomial, nous utilisons une partie de la structure arborescente de Koszul-Tate pour donner une démonstration élémentaire d’un théorème d’Avramov : si l’idéal I n’est pas engendré par une séquence régulière, toute résolution de Koszul- Tate a un nombre infini de générateurs. Pour O étant un anneau local noethérien ou un anneau de polynômes gradué, nous donnons une définition d’une résolution minimale de Koszul-Tate et étudions ses propriétés. Dans la troisième partie, nous étudions le formalisme BFV pour les systèmes mécaniques. Nous examinons le lien entre les données universelles de Lie-∞ algébroïde et leur contrepartie BFV sur quelques exemples.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04692988 , version 1 (10-09-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04692988 , version 1

Citer

Aliaksandr Hancharuk. Homological methods for Gauge Theories with singularities. Mathematics [math]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2023. English. ⟨NNT : 2023LYO10193⟩. ⟨tel-04692988⟩
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